Question

设函数（n∈N，且n＞1，x∈N）．
（Ⅰ）当x=6时，求的展开式中二项式系数最大的项；
（Ⅱ）对任意的实数x，证明＞f'（x）（f'（x）是f（x）的导函数）；
（Ⅲ）是否存在a∈N，使得an＜＜（a+1）n恒成立？若存在，试证明你的结论并求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用二项式系数的特点，找到展开式系数最大的项，即第四项；
（2）利用基本不等式适当放缩进行证明或函数思想进行转化与证明；
（3）探究性问题处理不等式问题，要注意对展开式系数进行适当放缩从而达到证明的目的．
【解析】
（Ⅰ）展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是
（Ⅱ）证法一：因=
证法二：因=
而
故只需对和进行比较．
令g（x）=x-lnx（x≥1），有
由，得x=1
因为当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当1＜x＜+∞时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以在x=1处g（x）有极小值1
故当x＞1时，g（x）＞g（1）=1，
从而有x-lnx＞1，亦即x＞lnx+1＞lnx
故有恒成立．
所以f（2x）+f（2）≥2f′（x），原不等式成立．
（Ⅲ）对m∈N，且m＞1
有
=
=
＜

=
＜3；
又因＞0（k=2，3，…，m），故
∵，从而有成立，
即存在a=2，使得恒成立．