Question

已知f（x）=（1+x）^m+（1+2x）ⁿ（m，n∈N^*）的展开式中x的系数为11．
（1）求x²的系数取最小值时n的值．
（2）当x²的系数取得最小值时，求f（x）展开式中x的奇次幂项的系数之和．

Answer

（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的x的系数，列出方程得到m，n的关系；利用二项展开式的通项公式求出x2的系数，
将m，n的关系代入得到关于m的二次函数，配方求出最小值
（2）通过对x分别赋值1，-1，两式子相加求出展开式中x的奇次幂项的系数之和．
【解析】
（1）由已知Cm1+2Cn1=11，∴m+2n=11，
x2的系数为Cm2+22Cn2=+2n（n-1）=+（11-m）（-1）=（m-）2+．
∵m∈N*，∴m=5时，x2的系数取得最小值22，
此时n=3．
（2）由（1）知，当x2的系数取得最小值时，m=5，n=3，∴f（x）=（1+x）5+（1+2x）3．
设这时f（x）的展开式为
f（x）=a+a1x+a2x2++a5x5，
令x=1，a+a1+a2+a3+a4+a5=25+33，
令x=-1，a-a1+a2-a3+a4-a5=-1，
两式相减得2（a1+a3+a5）=60，
故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30．