Question

数列{x_n}由下列条件确定：x₁=a＞0，x_n+1=，n∈N．
（Ⅰ）证明：对n≥2，总有x_n≥；
（Ⅱ）证明：对n≥2，总有x_n≥x_n+1；
（Ⅲ）若数列{x_n}的极限存在，且大于零，求x_n的值．

Answer

（Ⅰ）由x1=a＞0，及xn+1=，知xn＞0．从而有xn+1=（n∈N），所以，当n≥2时，xn≥成立．
（Ⅱ）证法一：当n≥2时，由xn≥＞0，xn+1=，用作差法知当n≥2时，xn≥xn+1成立．
证法二：当n≥2时，由xn≥＞0，xn+1=，用作商法知当n≥2时，xn≥xn+1成立．
（Ⅲ）记xn=A，则xn+1=A，且A＞0．由xn+1=，得A=．由此能导出xn的值．
证明：（Ⅰ）由x1=a＞0，及xn+1=，
可归纳证明xn＞0．
从而有xn+1=（n∈N），
所以，当n≥2时，xn≥成立．
（Ⅱ）证法一：当n≥2时，
因为xn≥＞0，xn+1=
所以xn+1-xn=≤0，
故当n≥2时，xn≥xn+1成立．
证法二：当n≥2时，因为xn≥＞0，xn+1=，
所以=1，
故当n≥2时，xn≥xn+1成立．
（Ⅲ）【解析】
记xn=A，则xn+1=A，且A＞0．
由xn+1=，得A=．
由A＞0，解得A=，故xn=．