Question

已知双曲线x²-y²=2的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交与A、B两点，点C的坐标是（1，0）．
（I）证明为常数；
（Ⅱ）若动点（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程．

Answer

（I）当AB与x轴垂直时，可设点A，B的坐标分别为，，由此可以求出为常数1．当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y=k（x-2）（k≠±1）．代入x2-y2=2，有（1-k2）x2+4k2x-（4k2+2）=0．再利用根与系数的关系能够推导出也为常数1，
（Ⅱ）由条件知F（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题设条件知得，再由根与系数的关系和双曲线的性质推导点M的轨迹方程．
（I）证明：由条件知F（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．
当AB与x轴垂直时，可设点A，B的坐标分别为，，
此时．
当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y=k（x-2）（k≠±1）．
代入x2-y2=2，有（1-k2）x2+4k2x-（4k2+2）=0．
则x1，x2是上述方程的两个实根，所以，，
于是=（k2+1）x1x2-（2k2+1）（x1+x2）+4k2+1==（-4k2-2）+4k2+1=-1．
综上所述，为常数-1．
（II）证法一：由条件知F（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．
设M（x，y），则，，，．由得：即
于是AB的中点坐标为．
当AB不与x轴垂直时，，即．
又因为A，B两点在双曲线上，所以x12-y12=2，x22-y22=2，两式相减得（x1-x2）（x1+x2）=（y1-y2）（y1+y2），即（x1-x2）（x+2）=（y1-y2）y．
将代入上式，化简得x2-y2=4．
当AB与x轴垂直时，x1=x2=2，求得M（2，0），也满足上述方程．
所以点M的轨迹方程是x2-y2=4．
证法二：同证法一得①
当AB不与x轴垂直时，由（I）有．②．③
由①②③得．④．⑤
当k≠0时，y≠0，由④⑤得，，将其代入⑤有．整理得x2-y2=4．
当k=0时，点M的坐标为（-2，0），满足上述方程．
当AB与x轴垂直时，x1=x2=2，求得M（2，0），也满足上述方程．
故点M的轨迹方程是x2-y2=4．