Question

设S_n是数列{a_n}（n∈N^*）的前n项和，a₁=a，且S_n²=3n²a_n+S_n-1²，a_n≠0，n=2，3，4，…．
（1）证明数列{a_n+2-a_n}（n≥2）是常数数列；
（2）试找出一个奇数a，使以18为首项，7为公比的等比数列{b_n}（n∈N^*）中的所有项都是数列{a_n}中的项，并指出b_n是数列{a_n}中的第几项．

Answer

（1）由已知得Sn+Sn-1=3n2，Sn+1+Sn=3（n+1）2．所以an+1+an=6n+3．由此能够推导出数列{an+2-an}（n≥2）是常数数列．
（2）由题设条件知a2=12-2a．a3=3+2a，数列{a2k}和{a2k+1}分别是以a2，a3为首项，6为公差的等差数列．由此能够推导出bn是数列{an}中的第6×7n-1项．
【解析】
（1）当n≥2时，由已知得Sn2-Sn-12=3n2an．
因为an=Sn-Sn-1≠0，所以Sn+Sn-1=3n2．①
于是Sn+1+Sn=3（n+1）2．②
由②-①得：an+1+an=6n+3．③
于是an+2+an+1=6n+9．④
由④-③得：an+2-an=6．⑤
即数列{an+2-an}（n≥2）是常数数列．
（2）由①有S2+S1=12，所以a2=12-2a．
由③有a3+a2=15，所以a3=3+2a，
而⑤表明：数列{a2k}和{a2k+1}分别是以a2，a3为首项，6为公差的等差数列．
所以a2k=a2+（k-1）×6=6k-2a+6，a2k+1=a3+（k-1）×6=6k+2a-3，k∈N*．
由题设知，bn=18×7n-1．当a为奇数时，a2k+1为奇数，而bn为偶数，
所以bn不是数列{a2k+1}中的项，bn只可能是数列{a2k}中的项．
若b1=18是数列{a2k}中的第k项，
由18=6k-2a+6得a=3k-6，取k=3，得a=3．
此时a2k=6k，由bn=a2k得18×7n-1=6k，k=3×7n-1∈N*，
从而bn是数列{an}中的第6×7n-1项．