Question

已知函数f（x）=x²-4，设曲线y=f（x）在点（x_n，f（x_n））处的切线与x轴的交点为（x_n+1，0）（n∈N*），其中x₁为正实数．
（Ⅰ）用x_n表示x_n+1；
（Ⅱ）若x₁=4，记，证明数列{a_n}成等比数列，并求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅲ）若x₁=4，b_n=x_n-2，T_n是数列{b_n}的前n项和，证明T_n＜3．

Answer

（Ⅰ）由题设条件知曲线y=f（x）在点（xn，f（xn））处的切线方程是y-（xn2-4）=2xn（x-xn）．
由此可知xn2+4=2xnxn+1．所以．

（Ⅱ）由，知，同理．
故．由此入手能够导出．

（Ⅲ）由题设知，所以，由此可知Tn＜3（n∈N*）．
【解析】
（Ⅰ）由题可得f′（x）=2x．
所以曲线y=f（x）在点（xn，f（xn））处的切线方程是：y-f（xn）=f′（xn）（x-xn）．
即y-（xn2-4）=2xn（x-xn）．
令y=0，得-（xn2-4）=2xn（xn+1-xn）．
即xn2+4=2xnxn+1．
显然xn≠0，∴．

（Ⅱ）由，知，
同理，故．
从而，即an+1=2an．所以，数列{an}成等比数列．
故．
即．
从而
所以

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
∴
∴
当n=1时，显然T1=b1=2＜3．
当n＞1时，
∴Tn=b1+b2+…+bn==．
综上，Tn＜3（n∈N*）．