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已知函数f(x)=x2-4,设曲线y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线与...

已知函数f(x)=x2-4,设曲线y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线与x轴的交点为(xn+1,0)(n∈N*),其中x1为正实数.
(Ⅰ)用xn表示xn+1
(Ⅱ)若x1=4,记manfen5.com 满分网,证明数列{an}成等比数列,并求数列{xn}的通项公式;
(Ⅲ)若x1=4,bn=xn-2,Tn是数列{bn}的前n项和,证明Tn<3.
(Ⅰ)由题设条件知曲线y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线方程是y-(xn2-4)=2xn(x-xn). 由此可知xn2+4=2xnxn+1.所以. (Ⅱ)由,知,同理. 故.由此入手能够导出. (Ⅲ)由题设知,所以,由此可知Tn<3(n∈N*). 【解析】 (Ⅰ)由题可得f′(x)=2x. 所以曲线y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线方程是:y-f(xn)=f′(xn)(x-xn). 即y-(xn2-4)=2xn(x-xn). 令y=0,得-(xn2-4)=2xn(xn+1-xn). 即xn2+4=2xnxn+1. 显然xn≠0,∴. (Ⅱ)由,知, 同理,故. 从而,即an+1=2an.所以,数列{an}成等比数列. 故. 即. 从而 所以 (Ⅲ)由(Ⅱ)知, ∴ ∴ 当n=1时,显然T1=b1=2<3. 当n>1时, ∴Tn=b1+b2+…+bn==. 综上,Tn<3(n∈N*).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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