Question

已知函数f（x）=x³-3x²+a，若f（x+1）是奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线方程是（ ）
A．x=0
B．x=2
C．y=2
D．y=4

Answer

利用奇函数的定义得到恒成立的等式，求出a，利用导数在切点处的值为曲线斜率求出直线方程．
【解析】
∵f（x）=x3-3x2+a
∴f（x+1）=（x+1）3-3（x+1）2+a=x3-3x-2+a
∵f（x+1）是奇函数
∴f（-x+1）=-f（x+1）
∴-x3+3x-2+a=-x3+3x+2-a
∴-2+a=2-a解得a=2
∴f（x）=x3-3x2+a=x3-3x2+2
∴f′（x）=3x2-6x
曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线斜率为k=f′（0）=0
曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线方程为y=2
故选C．