Question

已知函数y=ax³-15x²+36x-24，x∈[0，4]在x=3处有极值，则函数的最大值是    ．

Answer

先求出函数的导数，由函数在x=3处有极值得f/（3）=0，解关于a的方程，得出a的值，再根据导数的正负得出函数在区间[0，4]的单调区间，从而得出函数在区间[0，4]的最大值．
【解析】
由函数y=ax3-15x2+36x-24，x∈[0，4]
得：y/=3ax2-30x+36
∵函数在x=3处有极值
∴f/（3）=27a-54=0
故a=2，函数表达式为y=2x3-15x2+36x-24
∴f/（x）=6x2-30x+36=6（x-2）（x-3）
由f/（x）＞0得x＜2，x＞3，所以函数在（0，2）和（3，4）上为增函数；
由f/（x）＜0得2＜x＜3，所以函数在（2，3）上为减函数
所以函数的最大值为f（2）与f（4）中较大的一个
而f（2）=4＜f（4）=8
所以函数的最大值是8
故答案为：8