Question

已知曲线，
（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；
（2）求曲线过点P（2，4）的切线方程；
（3）求斜率为4的曲线的切线方程．

Answer

（1）根据曲线的解析式求出导函数，把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据P的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；
（2）设出曲线过点P切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到（1）求出的导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可；
（3）设出切点坐标，由切线的斜率为4，把切点的横坐标代入导函数中求出的函数值等于4列出关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点的横坐标，代入曲线方程即可求出相应的纵坐标，根据切点坐标和斜率分别写出切线方程即可．
【解析】
（1）∵P（2，4）在曲线上，且y'=x2
∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=y'|x=2=4；
∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4（x-2），即4x-y-4=0．
（2）设曲线与过点P（2，4）的切线相切于点A（x，），
则切线的斜率，
∴切线方程为y-（）=x2（x-x），
即
∵点P（2，4）在切线上，
∴4=2x2-，即x3-3x2+4=0，
∴x3+x2-4x2+4=0，
∴（x+1）（x-2）2=0
解得x=-1或x=2
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0．
（3）设切点为（x，y）
则切线的斜率为k=x2=4，x=±2．切点为（2，4），（-2，-）
∴切线方程为y-4=4（x-2）和y+=4（x+2）
即4x-y-4=0和12x-3y+20=0．