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设f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,其导函数为f′(x).如果存在实数a...

设f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,其导函数为f′(x).如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得f′(x)=h(x)(x2-ax+1),则称函数f(x)具有性质P(a),设函数f(x)=manfen5.com 满分网,其中b为实数.
(1)求证:函数f(x)具有性质P(b);
(2)求函数f(x)的单调区间.
(1)先求出函数f(x)的导函数f′(x),然后将其配凑成f′(x)=h(x)(x2-bx+1)这种形式,再说明h(x)对任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,即可证明函数f(x)具有性质P(b); (2)根据第一问令φ(x)=x2-bx+1,讨论对称轴与2的大小,当b≤2时,对于x>1,φ(x)>0,所以f′(x)>0,可得f(x)在区间(1,+∞)上单调性,当b>2时,φ(x)图象开口向上,对称轴,可求出方程φ(x)=0的两根,判定两根的范围,从而确定φ(x)的符号,得到f′(x)的符号,最终求出单调区间. 【解析】 (1)f′(x)= ∵x>1时,恒成立, ∴函数f(x)具有性质P(b); (2)当b≤2时,对于x>1,φ(x)=x2-bx+1≥x2-2x+1=(x-1)2>0 所以f′(x)>0,故此时f(x)在区间(1,+∞)上递增; 当b>2时,φ(x)图象开口向上,对称轴, 方程φ(x)=0的两根为:,而 当时,φ(x)<0,f′(x)<0, 故此时f(x)在区间上递减; 同理得:f(x)在区间上递增. 综上所述,当b≤2时,f(x)在区间(1,+∞)上递增; 当b>2时,f(x)在上递减;f(x)在上递增.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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