Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁．
（Ⅰ）求证：AB⊥BC；
（Ⅱ）若AA₁=AC=a，直线AC与平面A₁BC所成的角为θ，二面角A₁-BC-A的大小为φ，求证：θ+φ=．

Answer

（Ⅰ）欲证AB⊥BC，而AB⊂侧面A1ABB1，可先证BC⊥侧面A1ABB1，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，根据面面垂直的性质可知AD⊥平面A1BC，则AD⊥BC，又AA1⊥BC，AA1∩AD=A，满足定理所需条件；
（Ⅱ）连接CD，根据线面所成角的定义可知∠ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角，则∠ABA1就是二面角A1-BC-A的平面角，即∠ACD=θ，∠ABA1=β．在Rt△A1AB中，∠AA1D+φ=∠AA1B+=，即可得到结论．
【解析】
（Ⅰ）证明：如图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，
则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，
得AD⊥平面A1BC．又BC⊂平面A1BC
所以AD⊥BC．
因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，
则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC．
又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，
又AB⊂侧面A1ABB1，
故AB⊥BC．
（Ⅱ）连接CD，则由（Ⅰ）知∠ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角，
∠ABA1就是二面角A1-BC-A的平面角，即∠ACD=θ，∠ABA1=β．
于是在Rt△ADC中，sinθ=，在Rt△ADA1中，sin∠AA1D=，
∴sinθ=sin∠AA1D，由于θ与∠AA1D都是锐角，所以θ=∠AA1D．
又由Rt△A1AB知，∠AA1D+φ=∠AA1B+=，故θ+φ=．