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已知函数f(x)=x3+mx2-m2x+1(m为常数,且m>0)有极大值9. (...

已知函数f(x)=x3+mx2-m2x+1(m为常数,且m>0)有极大值9.
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)若斜率为-5的直线是曲线y=f(x)的切线,求此直线方程.
(I)求出导函数,求出导函数等于0的两个根,列出x,f′(x),f(x)的变化情况的表格,求出极大值,列出方程求出m的值. (II)将(I)求出的m的值代入导函数,利用曲线在切点处的导数值是切线的斜率,令导数等于-5,求出x即切点横坐标,将横坐标代入f(x)求出切点坐标,利用直线方程的点斜式写出切线方程. 【解析】 (Ⅰ)f’(x)=3x2+2mx-m2=(x+m)(3x-m)=0,则x=-m或x=m, 当x变化时,f’(x)与f(x)的变化情况如下表:  x  (-∞,-m) -m  (-m,)    ()  f'(x) +  0 -   0 +  f(x)   递增 极大值    递减  极小值    递增  从而可知,当x=-m时,函数f(x)取得极大值9, 即f(-m)=-m3+m3+m3+1=9,∴m=2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=x3+2x2-4x+1, 依题意知f’(x)=3x2+4x-4=-5,∴x=-1或x=-. 又f(-1)=6,f(-)=, 所以切线方程为y-6=-5(x+1),或y-=-5(x+), 即5x+y-1=0,或135x+27y-23=0.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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