Question

设函数f（x）=ax³+bx²-3a²x+1（a，b∈R）在x=x₁，x=x₂处取得极值，且|x₁-x₂|=2．
（Ⅰ）若a=1，求b的值，并求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a＞0，求b的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由题意f（x）=ax3+bx2-3a2x+1=x3+bx2-3x+1，求出其导数f'（x）=3x2+2bx-3，令f′（x）=0，求出极值点x=x1，x=x2利用|x1-x2|=2求出b值，并求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）不知a值，只知a＞0，由题意知x1，x2为方程3x2+2bx-3a2=0的两根，得=2，求出a的范围，因g（a）=9a2-9a3，求出g（a）的单调区间，从而求出a与b的关系，最后根据a的范围确定b的范围．
【解析】
f'（x）=3ax2+2bx-3a2．①（2分）
（Ⅰ）当a=1时，f'（x）=3x2+2bx-3；
由题意知x1，x2为方程3x2+2bx-3=0的两根，所以．
由|x1-x2|=2，得b=0．（4分）
从而f（x）=x2-3x+1，f'（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）．
当x∈（-1，1）时，f'（x）＜0；当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，f'（x）＞0．
故f（x）在（-1，1）单调递减，在（-∞，-1），（1，+∞）单调递增．（6分）
（Ⅱ）由①式及题意知x1，x2为方程3x2+2bx-3a2=0的两根，
所以．从而|x1-x2|=2⇔b2=9a2（1-a），
由上式及题设知0＜a≤1．（8分）
考虑g（a）=9a2-9a3，．（10分）
故g（a）在单调递增，在单调递减，从而g（a）在（0，1]的极大值为．
又g（a）在（0，1]上只有一个极值，所以为g（a）在（0，1]上的最大值，且最小值为g（1）=0．所以，即b的取值范围为．（14分）