Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠C=90°，点B₁在底面上射影D落在BC上．
（I）求证：AC⊥平面BB₁C₁C；
（II）若AB₁⊥BC₁，且∠B₁BC=60°，求证A₁C∥平面AB₁D．

Answer

（I）先根据线面垂直的性质定理得到B1D⊥AC，再由BC⊥AC结合线面垂直的判定定理可证明AC⊥平面BB1C1C，得证．
（II）先根据线面垂直的判定定理得到BC1⊥平面AB1C，从而得到BC1⊥B1C，进而可得到四边形BB1C1C为菱形，再由中位线定理得到，DE∥A1C，最后再由线面平行的判定定理得到A1C∥平面AB1D．
【解析】
（I）∵B1D⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴B1D⊥AC
又∵BC⊥AC，B1D∩BC=D，
∴AC⊥平面BB1C1C

（II）连接A1B和AB1，交于点E，

∴四边形BB1C1C为菱形，
∵∠B1BC=60°，B1D⊥BC于D，
∴D为BC的中点，
在三角形A1BC中，DE∥A1C
∴A1C∥平面AB1D．