Question

已知函数f（x）=+ax²+bx+5，记f（x）的导数为f′（x）．
（I）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3，且时，y=f（x）有极值，求函数f（x）的解析式；
（II）在（I）的条件下，求函数f（x）在[-4，1]上的最大值和最小值；
（III）若关于x的方程f’（x）=0的两个实数根为α、β，且1＜α＜β＜2试问：是否存在正整数n，使得？说明理由．

Answer

（I）求出导函数，利用导数在切点处的值为切线斜率及导数在极值点处的值为0，列出方程组，求出a，b．
（II）将a，b的值代入导函数，令导函数为0求出根，列出x，f′（x），f（x）的变化情况的表格，求出最值；
（III）先将二次方程用α，β表示出f（x），利用二次方程的实根分布得到f'（1）＞0，f'（2）＞0，利用基本不等式求出f′（1）•f′（2）的范围，判断出f′（1），f′（2）的范围．
【解析】
f'（x）=3x2+2ax+b（2分）
（I）由题意，得

所以，f（x）=x3+2x2-4x+5（4分）
（II）由（I）知，f'（x）=3x2+4x-4=（x+2）（3x-2），
令f'（x）=0，得

∴f（x）在[-4，1]上的最大值为13，最小值为-11．（10分）
（III）∵f'（x）=3（x-α）（x-β），∴f'（1）＞0，f'（2）＞0
f'（1）⋅f'（2）=9（1-α）（1-β）（2-α）（2-β）
=9（α-1）（β-1）（2-α）（2-β）=9（α-1）（2-α）（β-1）（2-β）
=
∴或，所以存在n1=1或2，使．