Question

若函数y=lg（3-4x+x²）的定义域为M．当x∈M时，求f（x）=2^x+2-3×4^x的最值及相应的x的值．

Answer

根据题意可得M={x|x2-4x+3＞0}={x|x＞3，x＜1}，f（x）=2x+2-3×4x=-3•（2x）2+4•2x
令t=2x，则t＞8，或0＜t＜2∴f（t）=-3t2+4t利用二次函数在区间（8，+∞）或（0，2）上的最值及x即可
【解析】
y=lg（3-4x+x2），
∴3-4x+x2＞0，
解得x＜1或x＞3，
∴M={x|x＜1，或x＞3}，
f（x）=2x+2-3×4x=4×2x-3×（2x）2．
令2x=t，
∵x＜1或x＞3，
∴t＞8或0＜t＜2．
∴f（t）=4t-3t2=-3t2+4t（t＞8或0＜t＜2）．
由二次函数性质可知：
当0＜t＜2时，f（t）∈（-4，]，
当t＞8时，f（x）∈（-∞，-160），
当2x=t=，即x=log2时，f（x）max=．
综上可知：当x=log2时，f（x）取到最大值为，无最小值．