Question

在数列{a_n}中，a₁=a，且a_n+1=2S_n-2ⁿ-n²（n∈N^*）．
（1）若a₁，a₂，a₃-5成等比数列，求a的值．（2）求通项公式a_n．

Answer

（1）题目给的条件是一个sn与an同时出现在一个等式中的，要判断所给的几项成等比数列时字母系数的值，代入首项的值求出第二项和第三项结果，解方程求出．
（2）根据所给的等式，仿写一个，两式相减，把等式变成只有通项的形式，即条件变为数列的递推式，根据递推关系得到通项．本题易出错的地方是数列的首项要检验．
【解析】
（1）a1=a，a2=2S1-21-12=2a-3，
a3-5=2（a1+a2）-22-22-5=6a-19，
∵a1，a2，a3-5成等比数列，
∴（2a-3）2=a（6a-19），解得a=-1或a=．
（2）∵an+1=2Sn-2n-n2（n∈N*），①
∴an=2Sn-1-2n-1-（n-1）2（n≥2，n∈N*），②
∴当n≥2时，①-②得
an+1-an=2an-2n-1-2n+1，
即an+1=3an-2n-1-2n+1．
设an+1+p2n+1+q（n+1）=3（an+p2n+qn），
由-4p+6p=-1，得p=-，
由3qn-q（n+1）=-2n+1，得q=-1．
故n≥2时，数列{an-2n-1-n}是以3为公比的等比数列．
∴