Question

设集合A={x|（x-4）（x-a）=0，a∈R}，B={x|（x-1）（x-4）=0}．
（1）求A∪B，A∩B；
（2）若A⊆B，求实数a的值；
（3）若a=5，则A∪B的真子集共有 ______个，集合P满足条件（A∩B）⊈P⊈（A∪B），写出所有可能的集合P．

Answer

（1）已知集合A={x|（x-4）（x-a）=0，a∈R}，B={x|（x-1）（x-4）=0}，根据一元二次不等式的解法，分别求出集合A，B，然后再根据交集合并集的定义求出A∪B，A∩B；
（2）因为A⊆B，说明A是B的子集，根据子集的定义进行求解．
（3）把a=5，代入集合A，然后求出集合A∪B，从而算出其子集，并写出所有可能的集合P．
【解析】
（1）①当a=4时，A={4}，B={1，4}，故A∪B={1，4}，A∩B={4}；（2分）
②当a=1时，A={1，4}，B={1，4}，故A∪B={1，4}，A∩B={1，4}；（4分）
③当a≠4且a≠1时，A={a，4}，B={1，4}，故A∪B={1，a，4}，A∩B={4}．（6分）
（2）由（1）知，若A⊆B，则a=1或4．（8分）
（3）若a=5，则A={4，5}，B={1，4}，
故A∪B={1，4，5}，此时A∪B的真子集有7个．（10分）
又∵A∩B={4}，
∴满足条件（A∩B）⊈P⊈（A∪B）的所有集合P有{1，4}、{4，5}．（12分）