Question

已知函数f（x）=-x²+2x．
（1）证明f（x）在[1，+∞）上是减函数；（2）当x∈[2，5]时，求f（x）的最大值和最小值．

Answer

（1）由定义法证明即可，作差，变形，判断符号，得出结论．
（2）由（1）的结论知函数在[2，5]上是增函数，最值在两端点处取到．
【解析】
（1）证明：在区间[1，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，则有（1分）
f（x1）-f（x2）=（-x12+2x1）-（-x22+2x2）=（x2-x1）•（x1+x2-2），（3分）
∵x1，x2∈[1，+∞），x1＜x2，（4分）
∴x2-x1＞0，x1+x2-2＞0，即f（x1）-f（x2）＞0（5分）
∴f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在[1，+∞）上是减函数．（6分）
（2）由（1）知f（x）在区间[2，5]上单调递减，
所以f（x）max=f（2）=0，f（x）min=f（5）=-15（12分）