Question

过抛物线y²=2px（p＞0）的顶点作互相垂直的两弦OA，OB．
（1）求AB中点p的轨迹方程；
（2）求抛物线顶点O在AB上射影M的轨迹方程．

Answer

（1）先设A（x1，y1）、B（x2，y2）及中点P的坐标，根据中点的定义得到三点坐标之间的关系，再由OA⊥OB得到•=-1，再结合A、B两点在抛物线上满足抛物线方程可得到y1y2、y12+y22的关系消去x1、y1、x2、y2可得到最后答案．
（2）先设M（x，y），然后联立y=kx、y=-与抛物线求出两交点坐标，进而得到直线OM的斜率、方程和直线AB的方程，最后联立直线OM和直线AB的方程可得到射影M的轨迹方程．
【解析】
设A、B两点坐标为（x1，y1）、（x2，y2），AB中点P坐标为（x，y），则
x1+x2=2x
y1+y2=2y
•=-1，即y1y2=-x1x2
y12=2px1
y22=2px2
（y1y2）2=4p2x1x2=-4p2y1y2
y1y2=-4p2
y12+y22=2p（x1+x2）
（y1+y2）2-2y1y2=2p（x1+x2）
4y2+8p2=4px
y2=px-2p2
所以中点轨迹方程为：y2=px-2p2
（2）设M（x，y）
y=kx与抛物线联立的交点坐标为（），y=-与抛物线联立的交点坐标为（4pk2，-4pk），
从而kOM=，故OM方程为：y=x    ①
AB方程为：y+4pk=-（x-4pk2）      ②
①×②得：y2+4pky=-x•（x-4pk2）即：
x2+y2=-4pky+4pk2x=4p•（k2x-ky）         ③
由①得：k2x-ky=x代入③并化简得：（x-2p）2+y2=4p2．
所以点M的轨迹方程为：（x-2p）2+y2=4p2，其轨迹是以（2p，0）为圆心，半径为2p的圆．