Question

过点A（0，a）作直线与圆（x-2）²+y²=1顺次相交于B、C两点，在BC上取满足BP：PC=AB：AC的点P．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）证明不论a取何值，轨迹恒过一定点．

Answer

（1）由BP：PC=AB：AC及定比分点知识写出P点坐标和BC坐标的联系式，再联立直线AB和圆的方程，利用韦达定理解决即可；
（2）由（1）知，所求轨迹方程为直线，直线恒过定点问题，只要令a的系数为0即可．
【解析】
设B（x1，x2），C（x2，y2），P（x，y）
因为
所以①
设AB：y=kx+a，代入圆的方程得：
（1+k2）x2+2（ak-2）x+a2+3=0
所以代入①得：
由y=kx+a代入消去k，有2x-ay-3=0
因为，所以点P在已知圆内，
所以所求轨迹方程为2x-ay-3=0（|a|＞2）．
（2）2x-ay-3=0表示直线，当y=0时，x=，与a无关，
故不论a取何值，轨迹恒过一定点（，0）