Question

已知椭圆，直线．P是l上点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|•|OP|=|OR|²，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

Answer

先设三个点P、R、Q的坐标分别为（xP，yP），（xR，yR），（x，y），利用共线条件得出它们坐标的关系，再依据条件|OQ|•|OP|=|OR|2，将三点的坐标代入，最终得到关于x，y的方程即为所求．
【解析】
由题设知点Q不在原点．设P、R、Q的坐标分别为（xP，yP），（xR，yR），（x，y），其中x，y不同时为零．
当点P不在y轴上时，由于点R在椭圆上及点O、Q、R共线，
得方程组
解得
由于点P在直线l上及点O、Q、P共线，得方程组．
解得
当点P在y轴上时，经验证①～④式也成立．
由题设|OQ|•|OP|=|OR|2，得
将①～④代入上式，化简整理得
因x与xp同号或y与yp同号，以及③、④知2x+3y＞0，
故点Q的轨迹方程为（其中x，y不同时为零）．
所以点Q的轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆、去掉坐标原点．