Question

中心在原点，一个焦点为F₁（0，）的椭圆截直线y=3x-2所得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程．

Answer

先根据焦点坐标得出a2-b2=50，将直线的方程与椭圆的方程组成方程组，消去y得到关于x的方程，再根据根与系数的关系求得AB的中点的横坐标的表达式，最后根据联立的方程求出其a，b即可求椭圆的方程．
【解析】
设椭圆的标准方程为+=1（a＞b＞0），由F1（0，）得a2-b2=50．
把直线方程y=3x-2代入椭圆方程整理得（a2+9b2）x2-12b2x+b2（4-a2）=0．
设弦的两个端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则由根与系数的关系得x1+x2=，
又AB的中点的横坐标为，∴==，
∴a2=3b2，与方程a2-b2=50联立可解出a2=75，b2=25．
故椭圆的方程为+=1．