Question

如图，在一个奥运场馆建设现场，现准备把一个半径为m的球形工件吊起平放到6m高的平台上，工地上有一个吊臂长DF=12m的吊车，吊车底座FG高1.5m．当物件与吊臂接触后，钢索CD长可通过顶点D处的滑轮自动调节并保持物件始终与吊臂接触．求物件能被吊车吊起的最大高度，并判断能否将该球形工件吊到平台上？

Answer

吊车能把球形工件吊上的高度y取决于吊臂的张角设此角为θ，由图可知y=AB+1.5=AD-OD-OB+1.5，进而可得y关于θ的关系式y=12sinθ，进而求得导函数所以，令y/=0，可得根据同角三角函数的关系，转化成关于tanθ的关系式，求得tanθ的值，进而求得θ．故可推断当0°＜θ＜60°时，y′＞0，判定y单调递增，当60°＜θ＜90°时，y′＜0，y单调递减，进而可知θ=60°时，y取最大值，求得此时y≈6.6，进而可断定吊车能把圆柱形工件吊起平放到6m高的桥墩上．
【解析】
由图可知，y=AB+1.5=AD-OD-．
所以
由y/=0，得
∴，
∴，
当0°＜θ＜60°时，
12
同理，当60°＜θ＜90°时，y'＜0，
所以当0°＜θ＜60°时，y单调递增，当60°＜θ＜90°时，y单调递减，
所以θ=60°时，y取最大值.
所以吊车能把圆柱形工件吊起平放到6m高的桥墩上．