Question

如图正三棱锥ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为a，侧棱长为，若经过对角线AB₁且与对角线BC₁平行的平面交上底面于DB₁．
（1）试确定D点的位置，并证明你的结论；
（2）求平面AB₁D与侧面AB₁所成的角及平面AB₁D与底面所成的角；
（3）求A₁到平面AB₁D的距离．

Answer

（1）先确定D为A1C1的中点，利用线面平行的性质证明BC1可以平行于此面内过点D的一条直线，就说明点D的位置确定是正确的．
（2）过D作DF⊥A1B1于F，由正三棱锥的性质可得，∠DGF为平面AB1D与侧面AB1所成的角的平面角，解直角三角形求出此角的正切值，便可求出此角的大小．先证明∠A1DA是平面AB1D与上底面所成的角的平面角，把它放在直角三角形中，求出此角的正切值，
可得此角的大小．
（3）过A1作A1M⊥AD，证明A1M是A1到平面AB1D的距离，面积法求出此距离．
【解析】
（1）D为A1C1的中点．连接A1B与AB1交于E，
则E为A1B的中点，DE为平面AB1D与平面A1BC1的交线，∵BC1∥平面AB1D
∴BC1∥DE，∴D为A1C1的中点；
（2）过D作DF⊥A1B1于F，由正三棱锥的性质，A
A1⊥DF，∴DF⊥平面AB1，连接DG，
则∠DGF为平面AB1D与侧面AB1所成的角的平面角，可求得，
由△B1FG～△B1AA1，得，∴
∵D为A1C1的中点，∴B1D⊥A1C1，由正三棱锥的性质，AA1⊥B1D，∴B1D⊥平面A1C
∴B1D⊥AD，∴∠A1DA是平面AB1D与上底面所成的角的平面角，
可求得，∴∠A1DA=；
（3）过A1作A1M⊥AD，∵B1D⊥平面A1C，∴B1D⊥A1M，∴A1M⊥平面AB1D
即A1M是A1到平面AB1D的距离，，∴A1M=．