Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，S_n是数列{a_n}的前n项和，且4S_n=a_n²+2a_n-3．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知b_n=2ⁿ，求T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n的值．

Answer

（1）由题意知，解得a1=3，由此能够推出数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列，所以an=3+2（n-1）=2n+1．
（2）由题意知Tn=3×21+5×22+…+（2n+1）•2n，2Tn=3×22+5×23+（2n-1）•2n+（2n+1）2n+1，二者相减可得到Tn=a1b1+a2b2+…+anbn的值．
【解析】
（1）当n=1时，，解出a1=3，
又4Sn=an2+2an-3①
当n≥2时4sn-1=an-12+2an-1-3②
①-②4an=an2-an-12+2（an-an-1），即an2-an-12-2（an+an-1）=0，
∴（an+an-1）（an-an-1-2）=0，
∵an+an-1＞0∴an-an-1=2（n≥2），
∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列，∴an=3+2（n-1）=2n+1．
（2）Tn=3×21+5×22+…+（2n+1）•2n③
又2Tn=3×22+5×23+（2n-1）•2n+（2n+1）2n+1④
④-③Tn=-3×21-2（22+23++2n）+（2n+1）2n+1-6+8-2•2n-1+（2n+1）•2n+1=（2n-1）•2n+2