Question

已知函数f（x）=，其中a＞0．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）有三个零点，求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）把a=1代入f（x）中确定出解析式，把x=2代入求出的解析式中得到f（2）的值，进而得到切点坐标，然后求出f（x）的导函数，把x=2代入导函数即可求出切线的斜率，根据切点坐标和斜率写出切线方程即可；
（Ⅱ）求出f（x）的导函数，令导函数等于0求出x的值，由a大于0判断出求出的x的值的大小，由x的值分区间讨论导函数的正负，根据函数的增减性，得到函数的极小值和极大值，由f（x）有三个零点，根据极大值大于0，得到极小值小于0，列出关于a的不等式求出不等式的解集即可得到a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）当a=1时，；
得到f′（x）=3x2-3x，
则f′（2）=6，
所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为：y-3=6（x-2），即y=6x-9；
（Ⅱ）f′（x）=3ax2-3x=3x（ax-1）．令f′（x）=0，解得，
因a＞0，则．
当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如表：

X （-∞，0）
F’（x） + - +
f（x） 递增 极大值 递减 极小值 递增

又f（0）=1，，
若要f（x）有三个零点，只需即可，
解得，又a＞0．
因此．
故所求a的取值范围为．