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已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率.直线l:x-2y+2=0与椭圆...

已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率manfen5.com 满分网.直线l:x-2y+2=0与椭圆C相交于E、F两点,且manfen5.com 满分网
(1)求椭圆C的方程;
(2)点P(-2,0),A、B为椭圆C上的动点,当PA⊥PB时,求证:直线AB恒过一个定点.并求出该定点的坐标.
(1)设出椭圆方程,E,F的坐标,根据离心率设,则b可求得,把直线方程与椭圆方程联立根据判别式求得t的范围.根据线段EF的距离求得t,则椭圆方程可得. (2)当直线l不垂直于x轴时,设AB:y=kx+mA(x1,y1)B(x2,y2),与椭圆方程联立,根据=0求得m,分别代入直线方程即可求得直线恒过的点.进而再看当直线l垂直于x轴时,可求得A,B的坐标,代入=0符合题意.综合答案可得. 【解析】 (1)设椭圆方程为(a>b>0),E(x1,y1)F(x2,y2)令则b=t ∴ 由得:2y2-2y+1-t2=0 △=4-4×2(1-t2)>0∴, ∴t2=1 椭圆C的方程是: (2)当直线l不垂直于x轴时,设AB:y=kx+mA(x1,y1)B(x2,y2)得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0= ∴12k2+5m2-16km=0(6k-5m)(2k-m)=0 ∴ 当时,恒过定点 当m=2k时,AB:y=kx+2k恒过定点(-2,0),不符合题意舍去 当直线l垂直于x轴时,若直线AB:则AB与椭圆C相交于, ∴ ∵PA⊥PB,满足题意 综上可知,直线AB恒过定点,且定点坐标为
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考点分析:
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第5组[180,185]100.100
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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