Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，满足f（0）=f（1）=0，且f（x）的最小值是-．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设直线l：y=t²-t（其中0＜t＜，t为常数），若直线l与f（x）的图象以及y轴所围成封闭图形的面积是S₁（t），直线l与f（x）的图象所围成封闭图形的面积是S₂（t），设g（t）=S₁（t）+S₂（t），当g（t）取最小值时，求t的值．

Answer

（1）由“f（0）=f（1）=0”结合二次函数图象的对称性，设f（x）=a（x-）2-，再代点求解．
（2）要建立g（t）的模型，由于是曲线所围成的图象，所以用定积分求解，设直线l与f（x）的图象的交点坐标为
（t，t2-t），再由定积分的几何意义S1（t）=∫t[（x2-x）-（t2-t）]dx，S2（t）=[（t2-t）-（x2-x）]dx，再求和建立g（t）模型求其最值．
【解析】
（1）由二次函数图象的对称性，
可设f（x）=a（x-）2-，
又f（0）=0，∴a=1，故f（x）=x2-x．
（2）据题意，直线l与f（x）的图象的交点坐标为（t，t2-t），由定积分的几何意义知：
g（t）=S1（t）+S2（t）
=∫t[（x2-x）-（t2-t）]dx+[（t2-t）-（x2-x）]dx
=[（-）-（t2-t）x]|t+[（t2-t）x-（-）]
=-t3+t2-t+．

而g′（t）=-4t2+3t-=-（8t2-6t+1）=-（4t-1）（2t-1）．
令g′（t）=0⇒t=或t=（不合题意，舍去）．
当t∈（0，）时，g′（t）＜0，g（t）递减；
当t∈（，）时，g′（t）＞0，g（t）递增；
故当t=时，g（t）有最小值．