Question

已知数列{x_n}满足x₁=，x_n+1=，n∈N^*；
（1）猜想数列{x_2n}的单调性，并证明你的结论；
（Ⅱ）证明：．

Answer

（1）对于数列{xn}的单调性的证明，我们可以根据数列的前若干项，归纳推理出数列的单调性，然后再利用数学归纳法进行证明．
（2）我们可以将待证的问题进行转化，变形成的形式，然后结合已知条件进行证明．
证明：（1）由x1=，xn+1=，
∴，，…
由x2＞x4＞x6猜想：数列{x2n}是递减数列
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，已证命题成立
（2）假设当n=k时命题成立，即x2k＞x2k+2
易知x2k＞0，那么
=
即x2（k+1）＞x2（k+1）+2
也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立
（2）当n=1时，，结论成立
当n≥2时，易知0＜xn-1＜1，∴
∴
∴
=