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函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1、x2∈D,有f=f...

函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1、x2∈D,有f=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明;
(3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.
(1)赋值,令x1=x2=1,有f(1×1)=f(1)+f(1),由此可解得f(1)的值; (2)方法同(1)赋值求出f(-1)=0,再令x1=-1,x2=x,有f(-x)=f(-1)+f(x)构造出f(-x)与f(x)的方程研究其间的关系.得出奇偶性,解答本题时注意做题格式,先判断后证明; (3)由题设条件f(4)=1与函数的恒等式,将f(3x+1)+f(2x-6)≤3转化为f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64),再由f(x)在(0,+∞)上是增函数与f(x)是偶函数的性质将此抽象不等式转化为一元二次不等式,求解x的范围. (1)【解析】 令x1=x2=1,有f(1×1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0. (2)证明:令x1=x2=-1,有f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1).解得f(-1)=0. 令x1=-1,x2=x,有f(-x)=f(-1)+f(x),∴f(-x)=f(x).∴f(x)为偶函数. (3)【解析】 f(4×4)=f(4)+f(4)=2,f(16×4)=f(16)+f(4)=3. ∴f(3x+1)+f(2x-6)≤3即f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64).(*) ∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴(*)等价于不等式组 或 或或 ∴3<x≤5或-≤x<-或-<x<3. ∴x的取值范围为{x|-≤x<-或-<x<3或3<x≤5}.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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