Question

已知函数f（x）=为奇函数，f（1）＜f（3），
且不等式0≤f（x）≤的解集是{x|-2≤x≤-1或2≤x≤4}．
（1）求a，b，c的值；
（2）是否存在实数m使不等式f（-2+sinθ）＜-m²+对一切θ∈R成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用f（x）是奇函数求出b=0，再利用0≤f（x）≤的解集是{x|-2≤x≤-1或2≤x≤4}．得到c=-4．再由f（1）＜f（3）⇒a＞0利用不等式的解集有对应方程的根决定进而求出a．
（2）转化为求f（x）在[-3，-1]上的最大值，由（1）知，f（x）在（-∞，0）以及（0，+∞）上均为增函数故最大值为，所以须有＜-m2⇒实数m不存在．
【解析】
（1）∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）对定义域内的一切x都成立，即b=0．
从而f（x）=（x+）．
又∵，即
∴f（2）=0，解之，得c=-4．
再由f（1）＜f（3），得或从而a＞0．
此时f（x）=（x-）
在[2，4]上是增函数．
注意到f（2）=0，则必有f（4）=，
∴（4-）=，即a=2．
综上可知，a=2，b=0，c=-4．

（2）由（1），得f（x）=（x-），
该函数在（-∞，0）以及（0，+∞）上均为增函数．
又∵-3≤-2+sinθ≤-1，
∴f（-2+sinθ）的值域为．
符合题设的实数m应满足-m2＞，即m2＜0，
故符合题设的实数m不存在．