Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x+4），当2≤x≤6时，f（x）=（）^|x-m|+n，f（4）=31．
（1）求m，n的值；
（2）比较f（log₃m）与f（log₃n）的大小．

Answer

（1）由f（x）=f（x+4），可知4是函数f（x）的一个周期，则有f（2）=f（6）再由f（4）=31组成方程组求解．
（2）由（1）知，函数f（x）=+30，x∈[2，6]．表示出f（log3m），f（log3n）再利用函数的单调性比较．
【解析】
（1）因为函数f（x）在R上满足f（x）=f（x+4），
所以4是函数f（x）的一个周期．
可得f（2）=f（6），即+n=+n，①
又f（4）=31，+n=31，②
联立①②组成方程组解得m=4，n=30．
（2）由（1）知，函数f（x）=+30，x∈[2，6]．
因为1＜log34＜2，所以5＜log34+4＜6．
f（log3m）=f（log34）=f（log34+4）
=+30
=（）|log34|+30．
又因为3＜log330＜4，

=

所以f（log3m）＜f（log3n）．