Question

写出下列命题的否定，并判断真假．
（1）∀x∈R，x²+x+1＞0；
（2）∀x∈Q，x²+x+1是有理数；
（3）∃α、β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ；
（4）∃x，y∈Z，使3x-2y≠10．

Answer

（1）将“∀”变为“∃”，结论否定．利用二次函数的判别式判断出真假
（2）将“∀”变为“∃”，结论否定．利用有理数的定义判断出真假．
（3）将“∃“变为“∀”，结论否定．判断出其真假．
（4）将“∃”变为“∀”，结论否定．举反例判断出真假．
【解析】
（1）的否定是“∃x∈R，x2+x+1≤0”．假命题．
（2）的否定是“∃x∈Q，x2+x+1不是有理数”．假命题．
（3）的否定是“∀α，β∈R，使sin（α+β）≠sinα+sinβ”．假命题．
（4）的否定是“∀x，y∈Z，使3x-2y=10”．假命题．