Question

（1）试用ε-δ语言叙述“函数f（x）在点x=x处连续的定义；
（2）试证明：若f（x）在点x=x处连续，且f（x）＞0，则存在一个x的（x-δ，x+δ），在这个邻域内，处处有f（x）＞0．

Answer

（1）因为函数的连续性是用极限来定义的，因而可用ε-δ的方式来描述；
（2）因为f（x）在点x=x处连续，利用（1）中的定义找ε=＞0，则有|f（x）-f（x）|＜，即可得到f（x）处处大于0．
【解析】
（1）若对于任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得当|x-x|＜δ时，
总有|f（x）-f（x）|＜ε，则称函数f（x）在点x处连续；
（2）证：由已知f（x）在点x=x处连续，
且f（x）＞0，
所以，由定义，对于给定的ε=＞0，
必存在δ＞0，当|x-x|＜δ时，
有|f（x）-f（x）|＜，
从而f（x）＞f（x）-=＞0
即在（x-δ，x+δ）内处处有f（x）＞0．