Question

如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=，CE=EF=1．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小．

Answer

（Ⅰ）设AC与BD交于点G，则在平面BDE中，可以先证明四边形AGEF为平行四边形⇒EG∥AF，就可证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）先以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz．把对应各点坐标求出来，可以推出•=0和•=0，就可以得到CF⊥平面BDE
（Ⅲ）先利用（Ⅱ）找到=（，，1），是平面BDE的一个法向量，再利用平面ABE的法向量•=0和•=0，求出平面ABE的法向量，就可以求出二面角A-BE-D的大小．
【解析】
证明：（I）设AC与BD交于点G，
因为EF∥AG，且EF=1，AG=AC=1，
所以四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG．
因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，
所以AF∥平面BDE．
（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，
所以CE⊥平面ABCD．
如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz．
则C（0，0，0），A（，，0），D（，0，0），E（0，0，1），F（，，1）．
所以=（，，1），=（0，-，1），=（-，0，1）．
所以•=0-1+1=0，•=-1+0+1=0．
所以CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE
（III）由（II）知，=（，，1），是平面BDE的一个法向量，
设平面ABE的法向量=（x，y，z），则•=0，•=0．
即
所以x=0，且z=y．令y=1，则z=．所以n=（），从而cos（，）=
因为二面角A-BE-D为锐角，所以二面角A-BE-D为．