Question

某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＞q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为

ξ		1	2	3
p		a	d

（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
（Ⅱ）求数学期望Eξ．

Answer

（I）由题意知事件该生至少有一门课程取得优异成绩与事件“ξ=0”是对立的，要求该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率，需要先知道该生没有一门课程优秀，根据对立事件的概率求出结果．
（II）由题意可知，需要先求出分布列中的概率a和b的值，根据互斥事件的概率和相互独立事件同时发生的概率，得到这两个值，求出概率之后，问题就变为求期望．
【解析】
事件A表示“该生第i门课程取得优异成绩”，i=1，2，3．
由题意可知

（I）由于事件“该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件“ξ=0”是对立的，
∴该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率是
1-P（ξ=0）=1-
（II）由题意可知，
P（ξ=0）=，
P（ξ=3）=
整理得p=．
∵a=P（ξ=1）=
=
=
b=P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=
∴Eξ=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+2×P（ξ=2）+3×P（ξ=3）=