Question

已知数列{a_n}中的相邻两项a_2k-1，a_2k是关于x的方程x²-（3k+2^k）x+3k•2^k=0的两个根，且a_2k-1≤a_2k（k=1，2，3，…）．
（I）求a₁，a₃，a₅，a₇；
（II）求数列{a_n}的前2n项和S_2n；
（Ⅲ）记，，求证：．

Answer

（1）用解方程或根与系数的关系表示a2k-1，a2k，k赋值即可．
（2）由S2n=（a1+a2）+…+（a2n-1+a2n）可分组求和．
（3）Tn复杂，常用放缩法，但较难．
【解析】
（I）【解析】
方程x2-（3k+2k）x+3k•2k=0的两个根为x1=3k，x2=2k，
当k=1时，x1=3，x2=2，所以a1=2；
当k=2时，x1=6，x2=4，所以a3=4；
当k=3时，x1=9，x2=8，所以a5=8时；
当k=4时，x1=12，x2=16，所以a7=12．
（II）【解析】
S2n=a1+a2++a2n=（3+6++3n）+（2+22++2n）=．
（III）证明：，
所以，．当n≥3时，，=，
同时，=．
综上，当n∈N*时，．