Question

已知：0＜α＜＜β＜π，cos（β-）=，sin（α+β）=．
（1）求sin2β的值；
（2）求cos（α+）的值．

Answer

（1）法一：直接利用两角差的余弦函数展开，再用方程两边平方，求sin2β的值；
     法二：利用sin2β=cos（-2β），二倍角公式，直接求出sin2β的值；
（2）通过题意求出sin（β-）=，cos（α+β）=-，根据cos（α+）=cos[（α+β）-（β-）]，展开代入数据，即可求cos（α+）的值．
【解析】
（1）法一：∵cos（β-）=coscosβ+sinsinβ
=cosβ+sinβ=．
∴cosβ+sinβ=．
∴1+sin2β=，∴sin2β=-．
法二：sin2β=cos（-2β）
=2cos2（β-）-1=-．
（2）∵0＜α＜＜β＜π，∴＜β-＜，＜α+β＜．
∴sin（β-）＞0，cos（α+β）＜0．
∵cos（β-）=，sin（α+β）=，
∴sin（β-）=，cos（α+β）=-．
∴cos（α+）=cos[（α+β）-（β-）]
=cos（α+β）cos（β-）+sin（α+β）sin（β-）
=-×+×=．