Question

已知函数f（x）=sinωx•cosωx-cos²ωx+（ω∈R，x∈R）的最小正周期为π，且图象关于直线x=对称．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数y=1-f（x）的图象与直线y=a在[0，]上只有一个交点，求实数a的取值范围．

Answer

（1）先根据两角和与差的公式和二倍角公式进行化简，再由最小正周期求出ω的值，最后根据图象关于直线x=对称确定函数f（x）的解析式．
（2）将（1）中函数f（x）的解析式代入到y=1-f（x）中，然后在同一坐标系中画出y=1-f（x）与y=a的图象，进而根据图象可求出a的范围．
【解析】
（1）∵f（x）=sinωx•cosωx-cos2ωx+
=sin2ωx-（1+cos2ωx）+=sin（2ωx-）+1，
∵函数f（x）的最小正周期为π，
∴=π，即ω=±1，
∴f（x）=sin（±2x-）+1．
①当ω=1时，f（x）=sin（2x-）+1，
∴f（）=sin+1不是函数的最大值或最小值，
∴其图象不关于x=对称，舍去．
②当ω=-1时，f（x）=-sin（2x+）+1，
∴f（）=-sin+1=0是最小值，
∴其图象关于x=对称．
故f（x）的解析式为f（x）=1-sin（2x+）．
（2）∵y=1-f（x）=sin（2x+）在同一坐标系中作出
y=sin（2x+）和y=a的图象，
由图可知，直线y=a在a∈或a=1时，两曲线只有一个交点，
∴a∈或a=1．