Question

在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长，已知sinA=．
（1）若a²-c²=b²-mbc，求实数m的值；
（2）若a=，求△ABC面积的最大值．

Answer

（1）把题设等式平方后利用同角三角函数基本关系整理成关于cosA，求得cosA的值．然后利用余弦定理求得m的值．
（2）由（1）中cosA，求得sinA，根据余弦定理求得a，b和c的不等式关系，进而利用三角形面积公式求得三角形面积的范围．
【解析】
（1）由sinA=两边平方得：
2sin2A=3cosA即（2cosA-1）（cosA+2）=0，
解得：cosA=，
而a2-c2=b2-mbc可以变形为=，
即cosA==，所以m=1．
（2）由（1）知cosA=，则sinA=．
又=，
所以bc=b2+c2-a2≥2bc-a2，即bc≤a2．
故S△ABC=sinA≤•=．