Question

对于数列{u_n}若存在常数M＞0，对任意的n∈N'，恒有|u_n+1-u_n|+|u_n-u_n-1|+…+|u₂-u₁|≤M
则称数列{u_n}为B-数列
（1）首项为1，公比为q（|q|＜1）的等比数列是否为B-数列？请说明理由；
（2）设S_n是数列{x_n}的前n项和，给出下列两组论断；
A组：①数列{x_n}是B-数列      ②数列{x_n}不是B-数列
B组：③数列{S_n}是B-数列      ④数列{S_n}不是B-数列
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题．
判断所给命题的真假，并证明你的结论；
（3）若数列{a_n}，{b_n}都是B-数列，证明：数列{a_nb_n}也是B-数列．

Answer

（1）根据B-数列的定义，首项为1，公比为q（|q|＜1）的等比数列，验证|un+1-un|+|un-un-1|+…+|u2-u1|≤M即可；
（2）首项写出两个命题，根据B-数列的定义加以证明，如果要说明一个命题不正确，则只需举一反例即可；
（3）数列{an}，{bn}都是B-数列，则有|an+1-an|+|an-an-1|+…+|a2-a1|≤M1，|bn+1-bn|+|bn-an-1|…++|b2-b1|≤M2，下面只需验证|an+1bn+1-anbn|+|anbn-an-1bn-1|+…+|a2b2-a1b1|≤M．
解（1）设满足题设的等比数列为{an}，则an=qn-1，于是|an-an-1|=|qn-1-qn-2|=|q|n-2|q-1|，n≥2
因此|an+1-an|+|an-an-1|+…+|a2-a1|=|q-1|（1+|q|+|q|2++|q|n-1）．
因为|q|＜1，所以1+|q|+|q|2+…+|q|n-1=，即|an+1-an|+|an-an1|+…+|a2-a1|＜
故首项为1，公比为q（|q|＜1）的等比数列是B-数列．

（2）命题1：若数列{xn}是B-数列，则数列{Sn}是B-数列．
此命题为假命题．
事实上，设xn=1，n∈N•，易知数列{xn}是B-数列，但Sn=n|Sn-1-Sn|+|Sn-Sn+1|+…+|S2-S1|=n
由n的任意性知，数列{Sn}是B-数列此命题为假命题．
命题2：若数列{Sn}是B-数列，则数列{xn}是B-数列
此命题为真命题
事实上，因为数列{Sn}是B-数列，
所以存在正数M，对任意的n∈N*，有|Sn+1-Sn|+|Sn-Sn-1|+…+|S2-S1|≤M
即|xn+1|+|xn|+…+|x2|≤M．
于是|xn+1-xn|+|xn-xn-1|+…+|x2-x1|≤|xn+1|+2|xn|+2|xn-1|+…+2|x2|+2|x1|≤2M+|x1|
所以数列{xn}是B-数列．

（3）若数列{an}{bn}是B-数列，则存在正数M1．M2，
对任意的n∈N•，有|an+1-an|+|an-an-1|+…+|a2-a1|≤M1，|bn+1-bn|+|bn-an-1|…++|b2-b1|≤M2
注意到|an|=|an-an-1+an-1+an-2+…+a2-a1+a1|≤|an-an-1|+|an-1-an-2|+…+|a2-a1|+|a1|≤M1+|a1|
同理：|bn|≤M2+|b1|
记K2=M2+|b2|，则有K2=M2+|b2||an+1bn+1-anbn|=|an+1bn+1-anbn+1+anbn+1-anbn|≤|bn+1||an+1-an|+|an||bn+1-bn|≤K1|an+1-an|+k1|bn+1-bn|
因此K1（|bn+1-bn|+|bn-bn-1|+|a2-a1|）≤k2M1+k1M2
+K1（|bn+1-bn|+|bn-bn-1|+|a2-a1|）≤k2M1+k1M2
故数列{anbn}是B-数列．