Question

设三角函数，其中k≠0．
（1）写出f（x）极大值M、极小值m与最小正周期；
（2）试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f（x）至少有一个值是M与一个值是m．

Answer

（1）根据正弦函数的性质可知函数最大值为1，最小值为-1，ω=进而根据T=可得函数的周期．
（2）f（x）在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m．而任意两个整数间的距离都≥1，因此要使任意两个整数间函数f（x）至少有一个值是M与一个值是m，必须且只须使f（x）的周期≤1，进而可知，可得k的范围．
【解析】
（1）M=1，m=-1，．
（2）f（x）在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m．
而任意两个整数间的距离都≥1，
因此要使任意两个整数间函数f（x）至少有一个值是M与一个值是m，
必须且只须使f（x）的周期≤1，
即：．
可见，k=32就是这样的最小正整数．