Question

某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）．现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）．
（1）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人；
（2）从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2．
表1：

表2：

①先确定x、y，再完成频率分布直方图，就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）


②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．

Answer

（1）根据随机抽样中各个个体被抽到的可能性均相等，可以得出甲、乙两工人分别被抽到的概率，再根据独立事件概率的计算公式求得结果；
（2）①利用分层抽样的思想确定出A类工人和B类工人分别被抽查到的人数，然后根据统计表格利用方程确定出x，y的值，完成频率分布直方图，通过频率分布直方图判断出A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小；
②利用频率分布直方图各组小长方形上端的中点横坐标作为该组的生产能力估计值，各组的频率值作为近似的概率值利用均值的计算公式估算出他们的生产能力平均数．
【解析】
（1）甲、乙被抽到的概率均为，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为P=×=．
（2）①由题意知A类工人中应抽查25名，B类工人中应抽查75名．
故4+8+x+5+3=25，得x=5，
6+y+36+18=75，得y=15．
频率分布直方图如下：

从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小．
②A=×105+×115+×125+×135+×145=123，
B=×115+×125+×135+×145=133.8，
=×123+×133.8=131.1．
A类工人生产能力的平均数、B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1．