△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a2=b（b+c），求证...

△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a²=b（b+c），求证：A=2B．

先利用正弦定理把题设等式中的边的问题转化成角的正弦，利用二倍角公式化简整理求得sin（A+B）sin（A-B）= sinBsin（A+B），进而推断出sin（A-B）=sinB．求得A=2B原式得证．证明：由正弦定理可知，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b（b+c）中，得sin2A=sinB（sinB+sinC） ∴sin2A-sin2B=sinBsinC ∴-=sinBsin（A+B） ∴（cos2B-cos2A）=sinBsin（A+B） ∴sin（A+B）sin（A-B）=sinBsin（A+B），因为A、B、C为三角形的三内角，所以sin（A+B）≠0．所以sin（A-B）=sinB．所以只能有A-B=B，即A=2B．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等