Question

已知△ABC中，2（sin²A-sin²C）=（a-b）sinB，外接圆半径为．
（1）求∠C；
（2）求△ABC面积的最大值．

Answer

（1）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化才边的关系，把外接圆半径代入求得a2+b2-c2=ab，根据余弦定理求得cosC的值，进而求得C．
（2）根据三角形的面积公式求得三角形面积的表达式，利用两角和公式化简整理后，根据角A的范围求得面积的最大值．
【解析】
（1）由2（sin2A-sin2C）=（a-b）•sinB得2（-）=（a-b）．
又∵R=，
∴a2-c2=ab-b2．
∴a2+b2-c2=ab．
∴cosC==．
又∵0°＜C＜180°，∴C=60°．
（2）S=absinC=×ab
=2sinAsinB=2sinAsin（120°-A）
=2sinA（sin120°cosA-cos120°sinA）
=3sinAcosA+sin2A
=sin2A-cos2A+
=sin（2A-30°）+．
∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=．