Question

某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB，现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10 km，问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短？并求其最短距离．

Answer

设OA=a，OB=b．进而根据题意求得∠AOB，则利用余弦定理求得AB的范围，进而表示出三角形的面积求得ab和AB的关系，进而判断出把A、B分别设在公路上离中心O能使|AB|最短．
【解析】
在△AOB中，设OA=a，OB=b．
因为AO为正西方向，OB为东北方向，
所以∠AOB=135°．
则|AB|2=a2+b2-2abcos135°=a2+b2+ab
≥2ab+ab=（2+）ab，
又，
∴，
∴，
∴，
当时，取等号
所以把A、B分别设在公路上离中心O都是Km才能使|AB|最短，
其最短距离为Km．