Question

函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象关于直线对称．据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解集都不可能是（ ）
A．{1，2}
B．{1，4}
C．{1，2，3，4}
D．{1，4，16，64}

Answer

根据函数f（x）的对称性，因为m[f（x）]2+nf（x）+p=0的解应满足y1=ax2+bx+c，y2=ax2+bx+c，
进而可得到方程m[f（x）]2+nf（x）+p=0的根，应关于对称轴x=对称，对于D中4个数无论如何组合都找不到满足条件的对称轴，故解集不可能是D．
【解析】
∵f（x）=ax2+bx+c的对称轴为直线x=
令设方程m[f（x）]2+nf（x）+p=0的解为f1（x），f2（x）
则必有f1（x）=y1=ax2+bx+c，f2（x）=y2=ax2+bx+c
那么从图象上看，y=y1，y=y2是一条平行于x轴的直线
它们与f（x）有交点
由于对称性，则方程y1=ax2+bx+c的两个解x1，x2要关于直线x=对称
也就是说x1+x2=
同理方程y2=ax2+bx+c的两个解x3，x4也要关于直线x=对称
那就得到x3+x4=，
在C中，可以找到对称轴直线x=2.5，
也就是1，4为一个方程的解，2，3为一个方程的解
所以得到的解的集合可以是{1，2，3，4}
而在D中，{1，4，16，64}
找不到这样的组合使得对称轴一致，
也就是说无论怎么分组，
都没办法使得其中两个的和等于另外两个的和
故答案D不可能
故选D．