Question

在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是正方形A₁B₁C₁D₁的中心，点P在棱CC₁上，且CC₁=4CP．
（Ⅰ）求直线AP与平面BCC₁B₁所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）设O点在平面D₁AP上的射影是H，求证：D₁H⊥AP；
（Ⅲ）求点P到平面ABD₁的距离．

Answer

本题宜建立空间坐标系，用空间向量来解决求线面角证线线垂直，求点到面 距离．
（Ⅰ）由题设条件，连接AC，即可得出AP与平面BCC1B1所成的角为∠PAC，求出线的方向向量与面的法向量，用公式求出线面角的正弦．
（Ⅱ）由图形及题设条件可以证得AP⊥面D1OH，由线面垂直证得母线线垂直，求出两线．
（Ⅲ）用向量法求点到面的距离，求线段对应的向量在面的法向量的投影的长度即可．
【解析】
建立如图的空间坐标系，由已知D（0，0，0），A（4，0，0），C（0，4，0），
D（0，0，4），B（4，4，0）
（1）如图，连接PB，由正方体的性质知∠APB即为所求的线面角，∵CC1=4CP∴CP=1，由勾股定理知BP=，
∴tan∠APB===
∴
（2）证明：由已知OH⊥面APD1，∴OH⊥AP，
连接B1D1，由于O是上底面的中心，故O∈B1D1，
由正体的性质知B1D1⊥面AC1，
又AP⊂面AC1，
∴B1D1⊥AP
又B1D1∩OH=0
∴AP⊥面D1OH，
∴D1H⊥AP
（3）如图=（0，4，0），=（-4，0，4）=（-4，4，1）
令面ABD1的法向量为=（x，y，z）
故有，即
令x=1，则z=1，故=（1，0，1）
故点P到面面ABD1的距离d==
点P到面面ABD1的距离为