Question

设函数f（x）=x²+x+的定义域是[n，n+1]（n∈N），问f（x）的值域中有多少个整数？

Answer

考虑到函数为二次函数，对称轴为x=-，而n属于自然数永远大于-，则函数为单调递增函数，f（n）最小，f（n+1）最大．最大与最小之间有（n2+3n+2）-（n2+n+1）+1=2n+2个整数．
【解析】
∵f（x）=（x+）2+的图象是以（-，）为顶点，
开口向上的抛物线，而自然数n＞-，
∴f（x）的值域是[f（n），f（n+1）]，
即[n2+n+，n2+3n+]．
其中最小的整数是n2+n+1，
最大的整数是n2+3n+2，共有（n2+3n+2）-（n2+n+1）+1=2n+2个整数．